Vortrag: Berechnung von Bahnlinien (auch) bei nichtlinearen Problemen

[Lukas Birkhoff]

Prof. Dr.-Ing. Matthias Baitsch
Fachbereich Bau- und Umweltingenieurwesen
Bauinformatik und Numerische Verfahren
Leiter des BIM-Instituts der Hochschule Bochum
Hochschule Bochum
matthias.baitsch@hs-bochum.de

Bahnlinien sind eine intuitiv zu erfassende Möglichkeit Grundwasserströmungen anschaulich zu machen. Geschickt platziert und hinreichend genau berechnet liefern sie Informationen zu Einzugsgebieten von Brunnen, der Umströmung von Störungen oder dem Einfluss von Vorflutern. Aus mathematischer Sicht ist eine Bahnlinie die Lösung eines Anfangswertproblems mit dem Strömungsfeld als Funktion der Differentialgleichung. Notwendig sind also Startpunkte, das Strömungsfeld sowie ein numerisches Verfahren für Anfangswertprobleme. Dieser Beitrag berichtet über aktuelle Entwicklungen in Spring zu den drei genannten Punkten.
Aus numerischer Sicht ist das zu lösende Anfangswertproblem unkritisch und explizite Verfahren somit gut geeignet. Stand der Technik ist hier die adaptive Steuerung der Schrittweite, so dass eine vorgegebene Genauigkeit automatisch eingehalten wird.
Das Strömungsfeld hängt von den Gradienten des hydrostatischen Drucks und gegebenenfalls der Stoffkonzentration ab. In einer FE-Rechnung sind die Gradienten nicht stetig, so dass entlang von Elementgrenzen die lokale Massenbilanz nicht eingehalten wird und somit Bahnlinien zusammenfallen können. Bessere Ergebnisse lassen sich mit an den Knoten gemittelten Geschwindigkeiten erzielen, allerdings ergeben sich hier Darstellungsfehler an undurchlässigen Rändern sowie an Grenzen zu (näherungsweise) undurchlässigen Bereichen. Vielversprechend ist hier die Konstruktion eines verbesserten Strömungsfeldes aus der Lösung von lokalen Hilfsproblemen, ein Ansatz, zu dem ein umfassendes mathematisches Fundament existiert.
Schließlich werden verschiedene Möglichkeiten zur Platzierung der Startpunkte vorgestellt. Nützlich sind dabei insbesondere Polylinien in einer natürlichen Parametrisierung, beispielsweise zur Veranschaulichung der Einzugsgebiete von Brunnen. Hierzu wird in einem ersten Schritt eine Stofftransportrechnung bei invertiertem Strömungsfeld durchgeführt. Mit zunehmendem Abstand vom Brunnen nimmt die Stoffkonzentration ab und das Gebiet mit einer Konzentration oberhalb eines festgelegten Schwellenwertes (z.B. 80%) stellt eine gute Näherung für das Einzugsgebiet des Brunnens dar. Die Stromlinien vom Rand des Gebiets hin zum Brunnen geben einen unmittelbar verständlichen Eindruck
des gesuchten Einzugsgebietes.
Die beschriebenen Algorithmen werden in einer eigenständigen Bibliothek implementiert, so dass die Berechnung von Bahnlinien zukünftig unabhängig von der Simulation erfolgen kann. Damit wird es möglich, auch bei komplexen und großen Modellen die Anordnung der Bahnlinien in einem interaktiven Prozess Schritt für Schritt zu optimieren.


Präsentation:

vortrag-baitsch.pdf